ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA

ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA

El algoritmo del árbol de expansión mínima es un modelo de optimización de redes que consiste en enlazar todos los nodos de la red de forma directa y/o indirecta con el objetivo de que la longitud total de los arcos o ramales sea mínima (entiéndase por longitud del arco una cantidad variable según el contexto operacional de minimización, y que puede bien representar una distancia o unidad de medida).

Sean

N = {1,2,3,...,n} el conjunto de nodos de la red.

Ck= Conjunto de nodos que se han enlazado de forma permanente en la iteración k

Čk= Conjunto de nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente.

PASO CERO (0): CONCEPTUALIZACIÓN DEL ALGORITMO

Definir los conjuntos C0 = {ø} y Č0 = {N}, es decir que antes del paso 1 no se han enlazado de forma permanente nodo alguno, y por ende el conjunto que representa a los nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente es igual a la cantidad de nodos que existen en la red.

PASO 1:

Se debe de escoger de manera arbitraria un nodo en el conjunto Č0 llamado i el cual será el primer nodo permanente, a continuación se debe de actualizar el conjunto C1 = {i}, que significa que al tiempo en que el conjunto C1 gana el elemento i el conjunto Č0 pierde el elemento i por ende ahora será igual a Č1 = N - {i}, además se debe actualizar el subíndice de los conjuntos k, el cual ahora será igual a 2.

PASO 2: PASO GENERAL "K"

Se debe de seleccionar un nodo j del conjunto ČK-1 ("k-1" es el subíndice que indica que se está haciendo referencia al conjunto de la iteración inmediatamente anterior) el cual tenga el arco o ramal con menor longitud con uno de los nodos que se encuentran en el conjunto de nodos de enlace permanente CK-1. Una vez seleccionado se debe de enlazar de forma permanente lo cual representa que pasa a formar parte del conjunto de enlaces permanentes y deja de formar parte del conjunto que todavía se debe conectar para lograr la expansión. Al actualizar el algoritmo en este paso los conjuntos deben de quedar de la siguiente forma.

CK = CK-1 + {j} mientras que ČK = ČK-1 - {j}

El paso general que define k que al mismo tiempo representa a las iteraciones debe de ejecutarse toda vez que el conjunto ČK no sea vacío, cuando este conjunto sea igual a vacío se tendrá el árbol de expansión mínima.

El entendimiento del algoritmo desde el punto de vista algebraico no es quizá el más simple, sin embargo mediante el ejemplo gráfico se verá que es un algoritmo muy sencillo de elaborar.

RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA

EL PROBLEMA

La ciudad de Cali cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contará con la urbanización de más de 7 proyectos habitacionales que se ubicarán a las afueras de la ciudad. Dado que el terreno en el que se construirá no se encontraba hasta ahora dentro de las zonas urbanizables de la ciudad, el acueducto municipal no cuenta con la infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de servicios públicos en materia de suministro de agua. Cada uno de los proyectos de vivienda inició la construcción de un nodo de acueducto madre, el cual cuenta con las conexiones de las unidades de vivienda propias de cada proyecto (es decir que cada nodo madre solo necesita estar conectado con un ducto madre del acueducto municipal para contar con su suministro). El acueducto municipal al ver la situación del plan parcial debe de realizar las obras correspondientes a la instalación de ductos madres que enlacen todos los nodos del plan con el nodo Meléndez (nodo que se encuentra con suministro de agua y que no pertenece al plan parcial de vivienda, además es el más cercano al mismo), la instalación de los ductos implica obras de excavación, mano de obra y costos de los ductos mismos, por lo cual optimizar la longitud total de los enlaces es fundamental. Las distancias existentes (dadas en kilómetros) correspondientes a las rutas factibles capaces de enlazar los nodos del plan parcial se presentan a continuación. Además la capacidad de bombeo del nodo Meléndez es más que suficiente para satisfacer las necesidades de presión que necesita la red madre.

El acueducto municipal le contacta a usted para que mediante sus conocimientos en teoría de redes construya una red de expansión que minimice la longitud total de ductos y que enlace todos los nodos del plan parcial de vivienda.

PASO 0:

Se definen los conjuntos iniciales C0 = {ø} que corresponde al conjunto de nodos enlazados de forma permanente en la iteración indicada en el subíndice y Č0 = {N = 1,2,3,4,5,6,7,8} que corresponde al conjunto de nodos pendientes por enlazar de manera permanente en la iteración indicada en el subíndice.

PASO 1:

Se debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del conjunto Č0, en este caso escogeremos el nodo 1 (puede ser cualquier otro), que algebraicamente se representa con la letra i, se procede a actualizar los conjuntos iniciales, por ende C1 = {i} = {1} y Č0 = {N - i} = {2,3,4,5,6,7,8}, actualizamos k por ende ahora será igual a 2.

PASO 2:

Ahora se debe seleccionar el nodo j del conjunto ČK-1 (es decir del conjunto del paso 1) el cual presente el arco con la menor longitud y que se encuentre enlazado con uno de los nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1 (es decir que se debe de encontrar un nodo que tenga el arco de menor longitud enlazado al nodo 1).

Los arcos o ramales de color naranja representan los arcos que enlazan el conjunto ČK-1 (es decir del conjunto del paso 1, recordemos que K en este paso es igual a 2, por ende ČK-1= Č1) con los nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1, por ende ahora solo falta escoger el de menor longitud, que en este caso es el arco cuya longitud es 2, que enlaza de forma permanente ahora el nodo 2.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C2 = {1,2} y Č2 = {3,4,5,6,7,8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración. Ahora se seleccionará un nuevo nodo j del conjunto Č2que presente el enlace (ramal o arco) de menor longitud con los nodos que se encuentran en el conjunto C2.

Los arcos de color naranja representan los enlaces posibles y dado que existe empate entre las menores longitudes se elige de manera arbitraria, en este caso se representa nuestra elección con un arco de color verde, enlazando de forma permanente ahora el nodo 4.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C3 = {1,2,4} y Č3 = {3,5,6,7,8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración.

Lo que representan los arcos naranja y verde es ya conocido, ahora la línea azul interrumpida irá trazando nuestro árbol de expansión final. Dado a que el arco menor es el de longitud 3, ahora se enlazará de manera permanente el nodo 5.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C4 = {1,2,4,5} y Č4 = {3,6,7,8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración.

Ahora se enlazará de manera permanente el nodo 7.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C5 = {1,2,4,5,7} y Č5 = {3,6,8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración.

Ahora se enlazará de manera permanente el nodo 6.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C6 = {1,2,4,5,7,6} y Č6 = {3,8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración.

Se rompen los empates de forma arbitraria, ahora se enlazará de manera permanente el nodo 3.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C7 = {1,2,4,5,7,6,3} y Č7 = {8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la última iteración.

Ahora se enlazará de manera permanente el nodo 8.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C8 = {1,2,4,5,7,6,3,8} = {N} y Č8 = {ø}

Por ende se ha llegado al árbol de expansión mínima

Árbol que presenta una longitud total minimizada de 21 kilometros de ductos.

Algoritmo de Kruskal

El algoritmo de Kruskal es un algoritmo de la teoría de grafos para encontrar un árbol recubridor mínimo en un grafo conexo y ponderado. Es decir, busca un subconjunto de aristas que, formando un árbol, incluyen todos los vértices y donde el valor total de todas las aristas del árbol es el mínimo. Si el grafo no es conexo, entonces busca un bosque expandido mínimo (un árbol expandido mínimo para cada componente conexa). El algoritmo de Kruskal es un ejemplo de algoritmo voraz.

Funciona de la siguiente manera:

-se crea un bosque B (un conjunto de árboles), donde cada vértice del grafo es unárbol separado

-se crea un conjunto C que contenga a todas las aristas del grafo

-mientras C es no vacío

-eliminar una arista de peso mínimo de C

-si esa arista conecta dos árboles diferentes se añade al bosque, combinando los dos árboles en un solo árbol

-en caso contrario, se desecha la arista

Al acabar el algoritmo, el bosque tiene un solo componente, el cual forma un árbol de expansión mínimo del grafo.

Este algoritmo fue publicado por primera vez en Proceedings of the American Mathematical Society, pp. 48–50 en 1956, y fue escrito por Joseph Kruskal.

Aquí les dejo un ejemplo en este video: